라그랑지안 역학(Lagrangian mechanics)은 힘의 합을 직접 쓰기보다, 에너지와 대칭성을 기반으로 운동 방정식을 유도하는 정식화입니다. 특히 구속조건이 있거나 좌표가 복잡한 다물체계에서 강력하며, 현대 물리의 많은 이론(해밀토니안, 장이론, 양자역학)으로 자연스럽게 이어집니다.
작용(action)과 정지 작용 원리
라그랑지안 L은 보통
L(q, q˙, t) = T - U
로 두고, 작용 S를
S = ∫_{t1}^{t2} L dt
로 정의합니다. 물리적 궤적은 작은 변분에 대해 δS = 0(정지 조건)을 만족합니다.
오일러-라그랑주 방정식
정지 작용 원리로부터 각 일반화 좌표 q_i에 대해
d/dt(∂L/∂q˙_i) - ∂L/∂q_i = 0
를 얻습니다. 이는 뉴턴 방정식과 동등하지만, 좌표 선택의 자유가 커서 계산이 단순해지는 경우가 많습니다.
일반화 좌표와 구속조건
라그랑지안은 직교좌표(x,y,z)뿐 아니라, 각도·길이·곡선 좌표 등 문제에 맞는 일반화 좌표를 쓸 수 있습니다. 또한 구속조건이 있을 때는 라그랑주 승수로 처리해 방정식을 체계적으로 세울 수 있습니다.
일반화 운동량과 보존량
일반화 운동량(정준 운동량)은
p_i = ∂L/∂q˙_i
로 정의됩니다. 만약 어떤 좌표 q_k가 L에 직접 등장하지(∂L/∂q_k = 0) 않으면, p_k는 시간에 대해 보존됩니다(순환좌표). 이는 대칭성과 보존량의 연결을 보여주는 대표 예입니다.
예: 단진자
길이 ℓ, 질량 m 단진자(각도 θ)를 예로 들면
T = 1/2 m ℓ^2 θ˙^2
U = m g ℓ (1 - cos θ)
L = T - U
를 두고 E-L 방정식을 적용하면
θ¨ + (g/ℓ) sin θ = 0
의 비선형 진자 방정식을 얻습니다.
왜 유용한가
- 구속조건/복잡한 좌표에서 계산이 간결
- 대칭성과 보존량을 자연스럽게 드러냄
- 수치 시뮬레이션, 제어, 현대 이론으로 확장 용이