감쇠 진동(damped oscillation)은 저항(마찰, 점성, 공기저항 등) 때문에 에너지가 소산되어 진폭이 감소하는 진동입니다. 가장 널리 쓰는 선형 모델은 속도에 비례하는 점성 감쇠로, 해의 형태가 감쇠의 크기에 따라 세 종류로 나뉩니다.
점성 감쇠 모델
스프링-질량계에서 감쇠력이 속도에 비례한다고 두면
m x¨ + c x˙ + k x = 0
이고, 표준형은
x¨ + 2β x˙ + ω0^2 x = 0
β = c/(2m)
ω0 = sqrt(k/m)
입니다.
세 가지 감쇠 구간
- 부족감쇠(underdamped): β < ω0 → 진동하며 지수적으로 감소
- 임계감쇠(critical): β = ω0 → 진동 없이 가장 빠르게 평형으로
- 과도감쇠(overdamped): β > ω0 → 진동 없이 더 느리게 평형으로
부족감쇠 해
x(t) = A e^{-β t} cos(ω_d t + φ)
ω_d = sqrt(ω0^2 - β^2)
감쇠가 작으면 ω_d ≈ ω0로 주기는 크게 변하지 않지만, 진폭은 e^{-β t}로 감소합니다.
에너지 감소와 Q
선형 부족감쇠에서 에너지는 대략
E(t) ∝ e^{-2β t}
Q ≈ ω0/(2β)
처럼 감소합니다. Q가 클수록(감쇠가 작을수록) 공진이 날카롭고 진동이 오래 지속됩니다.
선형 모델의 한계
실제 공기저항은 v^2에 비례하는 구간이 있고(고속), 마찰은 속도에 단순 비례하지 않을 수 있어 비선형 감쇠가 됩니다. 이 경우 감쇠율이 진폭에 따라 달라질 수 있습니다.
자주 헷갈리는 점
- 감쇠가 있다고 해서 항상 ‘느려진 주기’만 나타나는 것은 아닙니다(부족감쇠에서는 주기가 거의 유지될 수 있음).
- 감쇠가 커지면 진동이 사라지고 단조롭게 평형으로 접근합니다(임계/과도 감쇠).