拉格朗日力学用广义坐标与变分原理来重写经典力学。相比直接写力的分量方程，它更适合处理约束与复杂坐标，并能更自然地揭示对称性与守恒量。

拉格朗日量与作用量

通常定义

L(q, q˙, t) = T - U
S = ∫_{t1}^{t2} L dt

物理轨道满足作用量的驻值条件 δS = 0。

欧拉-拉格朗日方程

由 δS = 0 得到

d/dt(∂L/∂q˙_i) - ∂L/∂q_i = 0

它与牛顿定律等价，但在选取合适的广义坐标后常能显著简化推导。

广义坐标可以是角度、长度或其他能描述构型的变量。对完整约束（holonomic constraints），可以通过减少自由度直接消去约束，也可以用拉格朗日乘子把约束系统化地并入方程。

定义广义（正则）动量

p_i = ∂L/∂q˙_i

若某个坐标 q_k 不显含于 L（∂L/∂q_k = 0），则对应的 p_k 守恒。这体现了对称性与守恒量的联系（Noether 定理的基本思想）。

长度 ℓ、质量 m 的单摆（角度 θ）：

T = 1/2 m ℓ^2 θ˙^2
U = m g ℓ (1 - cos θ)
L = T - U

得到

θ¨ + (g/ℓ) sin θ = 0