非线性动力学研究运动方程对状态变量呈非线性关系的系统。非线性意味着叠加原理不再成立，因此可能出现振幅依赖频率、多重平衡、极限环、分岔与混沌等现象。
什么是非线性
常见非线性项包括三角函数与高次幂：
θ¨ + (g/ℓ) sin θ = 0
x¨ + x + α x^3 = 0
即使非线性项很小，也可能在长时间演化中累积并改变整体行为。
相空间与平衡点
许多系统可写为
x˙ = f(x, t)
在相空间中研究平衡点、稳定性，以及周期轨道等不变集合。
线性化与局限
在平衡点 x* 附近常用
δx˙ ≈ J(x*) δx
但这只是局部近似，远离平衡点时非线性项可能主导并产生全新的轨迹结构。
分岔
参数变化可能导致平衡点或周期轨道的产生/消失或稳定性改变，例如鞍结分岔、叉形分岔、Hopf 分岔与倍周期分岔。
极限环与自激振荡
一些非线性系统存在稳定的极限环（稳定周期轨道）。范德波尔振子中有效阻尼随振幅变化，系统会趋向稳定的振幅与周期。
常见误区
- 线性近似不能随意外推到大振幅。
- 参数的微小变化可能引起质变。