減衰振動は、摩擦や空気抵抗、材料内部の損失などによってエネルギーが散逸し、振幅が時間とともに小さくなる振動です。代表的な線形近似は 粘性減衰（減衰力が速度に比例）です。

粘性減衰モデル

ばね-質点系では

m x¨ + c x˙ + k x = 0

と書けます。便利な量として

ω0 = sqrt(k/m)
β = c/(2m)
ζ = β/ω0 = c/(2 sqrt(m k))

を用います（ω0: 無減衰固有角振動数、ζ: 減衰比）。

3つの減衰領域

ζ < 1 のとき

x(t) = A e^{-β t} cos(ω_d t + φ)
ω_d = sqrt(ω0^2 - β^2) = ω0 sqrt(1 - ζ^2)

ζ が小さいと ω_d ≈ ω0 で周期はあまり変わりませんが、振幅は e^{-β t} で減少します。

軽い減衰では

E(t) ∝ e^{-2β t}
Q ≈ ω0/(2β) = 1/(2ζ)

となり、Q が大きいほど減衰が弱く共振ピークは鋭くなります。

外力 F0 cos(ω t) を加えると

m x¨ + c x˙ + k x = F0 cos(ω t)
A(ω) = F0 / sqrt((k - m ω^2)^2 + (c ω)^2)

となり、減衰は共振振幅を抑え、位相遅れを生みます。

乾性摩擦や二乗抵抗、ヒステリシスなどの非線形損失では、減衰が純粋な指数形にならず、振幅依存の減衰が現れます。