カオスはランダム性そのものではありません。決定論的な法則に従うにもかかわらず、初期値に対する鋭敏性のために有限精度の測定・計算では長期予測が事実上困難になる現象です。
初期値鋭敏性とリアプノフ指数
局所的には
|δx(t)| ≈ |δx(0)| e^{λ t}
λ > 0
と表されることが多く、λ（リアプノフ指数）が正であれば軌道差が指数的に増幅します。予測可能な時間尺度は概ね 1/λ です。
決定論でも予測が難しい理由
決定論でも、
- 初期条件の測定誤差
- 数値計算の丸め誤差・打ち切り誤差
は避けられません。カオスではこれらが増幅し、十分時間が経つと詳細軌道の予測は意味を失います。
位相空間の幾何とストレンジアトラクタ
多くのカオスは位相空間での伸ばして折りたたむ機構として理解できます。駆動・散逸系ではフラクタル様構造を持つストレンジアトラクタが現れることがあり、Poincaré 切断面/写像が観察に用いられます。
簡単な例：ロジスティック写像
離散時間でもカオスは起こります。
x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)
r を増やすと周期倍分岐が連続し、カオス領域が現れます。
よくある誤解
- カオスは規則がないのではなく、予測可能時間が有限であることを意味します。
- 短時間予測は可能でも、長期では精度要求が非現実的になります。
- 数値誤差の影響もあるため、診断には刻み幅の収束確認が重要です。