ラグランジュ力学は、力の成分方程式を直接書く代わりに、一般化座標と変分原理によって運動方程式を導く定式化です。拘束条件がある系や座標が複雑な系で特に有効で、対称性と保存則の関係も自然に現れます。

ラグランジアンと作用

通常

L(q, q˙, t) = T - U
S = ∫_{t1}^{t2} L dt

を定義し、物理的な軌道は δS = 0（作用が停留）を満たします。

オイラー・ラグランジュ方程式

停留条件から

d/dt(∂L/∂q˙_i) - ∂L/∂q_i = 0

が得られます。ニュートンの法則と同値ですが、座標選択の自由度が大きく、計算が簡潔になることがあります。

一般化座標は角度・長さなど構成を表す任意の変数です。ホロノミック拘束は自由度を減らして取り込むこともでき、ラグランジュ乗数を用いれば拘束を体系的に方程式へ組み込めます。

一般化（正準）運動量を

p_i = ∂L/∂q˙_i

と定義します。もし q_k が L に明示的に現れない（∂L/∂q_k = 0）なら p_k は保存されます。これは対称性と保存量の結びつきを示す代表例です（Noether の考え方）。

長さ ℓ、質量 m、角度 θ の単振り子では

T = 1/2 m ℓ^2 θ˙^2
U = m g ℓ (1 - cos θ)
L = T - U

より

θ¨ + (g/ℓ) sin θ = 0

を得ます。