소각근사(small-angle approximation)는 각도 θ가 충분히 작을 때(라디안), 삼각함수의 비선형성을 테일러 전개로 ‘선형화’하는 근사입니다. 단진자·소진동 문제를 간단한 선형 미분방정식으로 바꿔 단순조화진동(SHM) 형태를 얻는 데 핵심입니다.
테일러 전개
θ가 0에 가까울 때
sin θ = θ - θ^3/6 + O(θ^5)
cos θ = 1 - θ^2/2 + O(θ^4)
따라서 sinθ≈θ 근사의 오차는 대략 θ^3 항부터 시작하며, θ가 작을수록 빠르게 작아집니다.
라디안 단위가 필수
근사식은 θ를 라디안으로 둘 때 성립합니다. 각도를 도(deg)로 넣으면 수치가 달라져 근사 자체가 무너집니다.
단진자 방정식의 선형화
이상적인 단진자(길이 L)의 방정식은
θ¨ + (g/L) sin θ = 0
인데, 소각근사를 적용하면
θ¨ + (g/L) θ = 0
가 되어 선형 SHM이 됩니다.
ω = sqrt(g/L)
T0 = 2π sqrt(L/g)
진폭이 커지면(근사 밖으로) 무엇이 달라지나
실제 단진자의 주기는 진폭 θ0가 커질수록 증가합니다. 작은 진폭에서의 보정은 급수로 쓸 수 있습니다.
T ≈ T0 (1 + θ0^2/16 + 11 θ0^4/3072 + ...)
즉, ‘주기가 진폭과 무관’하다는 결론은 소각근사 범위에서만 성립합니다.
자주 헷갈리는 점
- sinθ≈θ는 θ가 작을 때만 성립하고, “모든 각도에서” 가능한 대체식이 아닙니다.
- θ의 크기를 판단할 때 라디안 기준으로 생각해야 합니다.
- 근사는 문제를 단순화하지만, 오차가 누적될 수 있는 장시간 예측에서는 주의가 필요합니다.