후크의 법칙(Hooke's law)은 ‘작은 변형’ 범위에서 탄성체의 힘-변형 관계가 선형이라는 경험 법칙입니다. 스프링 모델에서는 복원력이 변위에 비례하고, 재료 모델에서는 응력과 변형률이 비례합니다.
스프링 형태(힘-변위)
변위 x에 대해
F = -k x
이며 k는 스프링 상수입니다. 이때 저장되는 퍼텐셜에너지는
U(x) = 1/2 k x^2
로 쓸 수 있어, 진동 문제를 에너지 관점으로도 쉽게 다룹니다.
등가 스프링 상수
여러 스프링의 결합은 k를 바꿉니다.
직렬: 1/k_eq = 1/k1 + 1/k2 + ...
병렬: k_eq = k1 + k2 + ...
재료의 후크의 법칙(응력-변형률)
막대가 탄성 변형할 때 1차원 근사로
σ = E ε
- σ: 응력
- ε: 변형률
- E: 영률(Young's modulus)
이 성립합니다. 이는 재료가 ‘선형 탄성’ 영역에 있을 때의 근사이며, 큰 변형이나 항복 이후에는 성립하지 않습니다.
적용 범위와 한계
- 후크의 법칙은 항상 참인 기본 법칙이 아니라, 선형 영역에서의 근사/모델입니다.
- 큰 변형에서는 비선형 탄성, 점탄성, 소성 변형이 나타날 수 있습니다.
진동과의 연결
스프링-질량계에서 ω = √(k/m)이므로, k는 시스템의 고유진동수를 결정합니다.
자주 헷갈리는 점
- k는 ‘스프링의 재료’만의 성질이 아니라, 형상(길이·단면)과 결합된 시스템 상수입니다.
- 음수 부호는 방향(평형으로 되돌리는 복원력)을 나타내며, 크기는 k|x|입니다.