단순조화진동(simple harmonic motion, SHM)은 복원력이 변위에 비례하고(선형), 평형점 방향으로 작용할 때 나타나는 가장 기본적인 진동입니다. 비선형 효과가 작을 때 많은 시스템이 SHM으로 근사되며, 파동·회로·진동 공학의 ‘표준 모델’로 쓰입니다.

미분방정식

질량 m인 물체에 스프링 상수 k의 선형 복원력이 작용하면

m x¨ + k x = 0
x¨ + ω^2 x = 0
ω = sqrt(k/m)

해(변위, 속도, 가속도)

x(t) = A cos(ω t + φ)
v(t) = -A ω sin(ω t + φ)
a(t) = -ω^2 x(t)

가속도가 항상 -ω^2 x로 주어지므로, 변위가 클수록 평형으로 되돌리는 가속도가 커집니다.

주기와 진동수

T = 2π/ω
f = 1/T

질량이 커지면 느려지고(ω 감소), 스프링이 강해지면 빨라집니다(ω 증가).

에너지 관점

스프링-질량 SHM에서

U = 1/2 k x^2
K = 1/2 m v^2
E = K + U = 1/2 k A^2 = 1/2 m ω^2 A^2 (상수)

로, 에너지는 K와 U 사이를 오가되 총합은 일정합니다(감쇠가 없을 때).

위상공간(phase space)

(x, v) 평면에서 SHM의 궤적은 타원으로 나타납니다. 이는 운동이 ‘주기적으로 되돌아오는’ 구조임을 시각적으로 보여줍니다.

어디서 SHM이 등장하나

소각근사된 단진자
스프링-질량계
LC 회로(전하/전류 진동)
작은 진동으로 선형화 가능한 많은 시스템

한계

비선형성이 커지면(큰 진폭, 비선형 스프링, 큰 각도 진자 등) 주기가 진폭에 의존하거나, 비정현파 진동·혼돈 등 다른 거동이 나타날 수 있습니다.

단순조화진동